Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），S四边形AEPF=S△ABC，上述结论中始终正确有 （　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP⊥BC，AP=PB，

∠B=∠CAP=45°，

∵∠APF+∠FPA=90°，

∠ APF+∠BPE=90°，

∴∠APF=∠BPE，

在△BPE和△APF中，

∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，

∴△PFA≌△PEB；故①正确；

∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，

∴AP=BC，

又∵EF不一定是△ABC的中位线，

∴EF≠AP，故结论②错误；

∵△PFA≌△PEB，

∴PE=PF，

又∵∠EPF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；

∵△PFA≌△PEB，

∴S△PFA =S△PEB，

∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=S△ABC，故结论④正确；

综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.

故选：C.