Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为12，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B＇处．

（1）当＝1时，如图1，延长A B＇，交CD于点M，①CF的长为 ；②求证：AM＝FM．

（2）当点B＇恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为 ； ＝ ．

（3）当＝3时，求∠DA B＇的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）①CF的长为12；②证明见解析；

2）CF的长为12， ＝；

（3）当时，∠DA B＇的正弦值为或．

【解析】解：（1）①CF的长为 12 ；

②证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB∥CD，∴∠ F＝∠ BAF，

由折叠可知：∠ BAF＝∠ MAF，

∴∠ F＝∠ MAF，∴AM＝FM．

（2）CF的长为12；

＝．

（3）①当点E在线段BC上时，如图3，

A B＇的延长线交CD于点M，易证：△ABE∽△FCE，

∴，即，∴CF＝4，

由（1）②证明可知：

AM＝FM．设DM＝x，则MC＝12－x，则AM＝FM＝16－x，

在Rt△ADM中， ，

即（16－x）2＝122＋x2，解得：x＝，

则16－x＝16－＝，

∴sin∠DA B＇＝＝．

②当点E在BC的延长线上时，如图4，

易证：△ABE∽△FCE，

∴，即，∴CF＝4，

则DF＝12－4＝8，设DM＝x，则AM＝FM＝8＋x，

在Rt△ADM中， ，

即（8＋x）2＝122＋x2，解得：x＝5，则AM＝8＋x＝13，

∴sin∠DA B＇＝＝．

综上所述：当时，∠DA B＇的正弦值为或．