Question

【题目】数学活动——探究特殊的平行四边形．

问题情境

如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB=AD，BC=DC．请你添加条件，使它们成为特殊的平行四边形．

提出问题

（1）第一小组添加的条件是“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形．请你证明；

（2）第二小组添加的条件是“∠B=90°,∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形．请你证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析证明；（2）见解析证明．

【解析】

试题分析：（1）根据SSS可判定△ABC≌△ADC，根据全等三角形对应角相等和两直线平行内错角相等可得∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，根据等角对等边可得AB=BC=CD=DA，即得结论；（2）由△ABC≌△ADC得∠D =∠B=90°，又∠BCD=90°，可判定四边形BCD是矩形，又因BC=DC，即可得出结论．

试题解析：（1）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，又∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，∴AB=BC，DA=DC，又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠D =∠B，∵∠B=90°，∴∠D =∠B=90°，又∵∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵BC=DC，∴矩形ABCD是正方形．