Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，

（1）求证：AE＝CE；

（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6

【解析】

（1）根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）根据平行四边形的判定推出即可；

（3）求出高和，再根据面积公式求出即可．

解：（1）证明：∵点E是BD的中点，

∴BE＝DE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBE，

在△ADE和△CBE中

∴△ADE≌△CBE（ASA），

∴AE＝CE；

（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DF＝CD，

∴DF＝AB，

即DF＝AB，DF∥AB，

∴四边形ABDF是平行四边形；

（3）解：过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，

∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，

∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，

∴∠BDC＝∠F＝30°，

∴DQ＝DF＝＝1，CH＝DC＝＝1，

∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA+S△BDC＝AF×DQ+＝4×1+＝6，

故答案为：6．