Question

【题目】综合与探究

问题背景

在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：

如图，点C在线段BD上，点E在线段AC上．∠ACB＝∠ACD＝90°，AC＝BC；DC＝CE，M，N分别是线段BE，AD上的点．

“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①△BCE≌△ACD；②当CM，CN分别是△BCE和△ACD的中线时，△MCN是等腰直角三角形．

解决问题

（1）请你结合图（1）．证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．

类比探究

受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：如图（2），当∠BCM＝∠ACN时，△MCN是等腰直角三角形．

（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．

感悟发现

“奋进小组”认为：当点M，N分别是BE，AD的三等分点时，△MCN仍然是等腰直角三角形请你思考：

（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答：　 　（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）

（4）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得△MCN是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）实践小组”所写的结论正确，理由见解析；（3）不一定准确，理由见解析；（4）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）由△BCE≌△ACD，推出BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，因为BM＝BE，AN＝AD，推出BM＝AN，再证明△BCM≌△ACN，即可解决问题；

（2）实践小组”所写的结论正确．只要证明△BCM≌△ACN（ASA），即可解决问题；

（3）“奋进小组”认为：当点M，N分别是BE，AD的三等分点时，△MCN仍然是等腰直角三角形．这个结论不一定准确，分两种情形说明即可；

（4）答案不唯一．比如：当CM，CN分别是△BCE，△ACD的高时，△MCN是等腰直角三角形；当CM，CN分别是△BCE，△ACD的角平分线时，△MCN是等腰直角三角形.

（1）在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，

∵CM，CN分别是△BCE和△ACD的中线，

∴BM＝BE，AN＝AD，

∴BM＝AN，

在△BCM和△ACN，

，

∴△BCM≌△ACN（SAS），

∴CM＝CN，∠BCM＝∠ACN，

∵∠BCM+∠MCE＝90°，

∴∠ACN+∠MCE＝90°，

∴MC⊥CN．

∴△MCN是等腰直角三角形．

（2）实践小组”所写的结论正确．

理由：∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC＝∠DAC，

在△BCM和△CAN中，

，

△BCM≌△ACN（ASA），

∴CM＝CN，

∵∠BCM+∠MCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACN+∠MCE＝90°，

∴MC⊥CN．

∴△MCN是等腰直角三角形．

（3）“奋进小组”认为：当点M，N分别是BE，AD的三等分点时，△MCN仍然是等腰直角三角形．这个结论不一定准确．

理由：当BM＝BE，AN＝AD时，△MCN仍然是等腰直角三角形．

当BM＝BE，DN＝AD时，△MCN不是等腰直角三角形．

故答案为不一定准确．

（4）答案不唯一．比如：当CM，CN分别是△BCE，△ACD的高时，△MCN是等腰直角三角形；

当CM，CN分别是△BCE，△ACD的角平分线时，△MCN是等腰直角三角形；

理由：只要证明△BCM≌△ACN（AAS），即可推出，∠BCM＝∠ACN，推出∠MCN＝90°，

∵CM＝CN，

∴△MCN是等腰直角三角形．