Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ACF是等腰三角形．见解析

【解析】

试题分析：（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．

（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°．

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°．

∴∠BDE=45°．

又∵BF∥AC，

∴∠CBF=90°．

∴∠BFD=45°=∠BDE．

∴BF=DB．

又∵D为BC的中点，

∴CD=DB．

即BF=CD．

在△CBF和△ACD中，

，

∴△CBF≌△ACD（SAS）．

∴∠BCF=∠CAD．

又∵∠BCF+∠GCA=90°，

∴∠CAD+∠GCA=90°．

即AD⊥CF．

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：

连接AF，如图所示，

由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，

∴AF=AD，

∵CF=AD，

∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．