Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作GD∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD；
（1）求证：△ADG是等边三角形；
（2）求证：△AGE≌△DAC；
（3）过点E作EF∥DC，交BC于点F，连接AF，求∠AEF的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，

又∵GD∥BC，

∴∠ADG=∠ACB=∠ABC=60°，

∴△ADG是等边三角形；

（2）证明：∵△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=∠ADG=∠AGD=60°，AD=AG=DG，

又∵DE=DB，

∵DE+DG=DB+AD，

即EG=AB，

又∵AB=AC，

∴EG=AC，

在△AGE和△DAC中

∴△AGE≌△DAC（SAS）；

（3）解：∵△AGE≌△DAC，

∴∠AEG=∠ACD，

又∵EF∥DC，GD∥BC，

∴∠DCB=∠EFB，∠EFB=∠FEG，

∴∠DCB=∠FEG，

∴∠AEF=∠AEG+∠FEG=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．

【解析】（1）利用已知条件和等边三角形的性质可证明∠ADG=∠ACB=∠ABC=60°，进而可证明△ADG是等边三角形；（2）易证AG=AD，EG=AC，由全等三角形的判定方法SAS即可证明△AGE≌△DAC；（3）结合（2）可得∠AEF=∠AEG+∠FEG=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．
【考点精析】认真审题，首先需要了解线段垂直平分线的性质(垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等)．