Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，点（0，1），点（1，0），正方形的两条对角线的交点为，延长至点，使．延长至点，使，以，为邻边做正方形．

（Ⅰ）如图①，求的长及的值；

（Ⅱ）如图②，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，记旋转角为（0°＜＜360°），连接．

①旋转过程中，当90°时，求的大小；

②在旋转过程中，求的长取最大值时，点的坐标及此时的大小（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）①30°，150°，②（，），315°．

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题；

（Ⅱ）①因为∠BAG′=90°，BG′=2AB，可知sin∠AG′B==，推出∠AG′B=30°，推出旋转角α=30°，据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°；

②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大．

试题解析：解：（Ⅰ）如图1中，∵A（0，1），∴OA=1．∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=．∵BD=DG，∴BG=，∴==．

（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°．

综上所述：旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．

②如图3中，连接OF．∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为，∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（）．