Question

【题目】已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．
（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；
（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．
（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图①，连接PC．

∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的，

∴∠ABP=∠ACQ．

由图①知，点A、B、P、C四点共圆，

∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补），

∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）；

（2）

证明：解：PA=PB+PC．理由如下：

如图②，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE．

∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）．

∵A、B、P、C四点共圆，

∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补），

∵∠BPC+∠EPC=180°，

∴∠BAC=∠CPE=60°，

∵PE=PC，

∴△PCE是等边三角形，

∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°；

又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，

∴∠BCE=∠ACP（等量代换）．

在△BEC和△APC中， ，

∴△BEC≌△APC（SAS），

∴BE=PA，

∴PA=BE=PB+PC；

（3）

证明：若∠BAC=120°时，（2）中的结论不成立． PA=PB+PC．理由如下：

如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．

∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，

∴∠BPC=60°．

∵弦AB=弦AC，

∴∠APB=∠APQ=30°．

在△ABP和△AQP中，

∵ ，

∴△ABP≌△AQP（SAS），

∴AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的对应边相等），

∴AQ=AC（等量代换）．

在等腰△AQC中，QG=CG．

在Rt△APG中，∠APG=30°，则AP=2AG，PG= AG．

∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2 AG，

∴ PA=2 AG，即 PA=PB+PC．

【解析】（1）如图①，连接PC．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图②，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．利用全等三角形△ABP≌△AQP（SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可．