Question

【题目】如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F。

（1）求证：CE=CF。

（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示。试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1）见解析证明；（2）=CF．理由见解析证明．

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=∠EAD，再根据等角的余角相等求出∠CFA=∠AED ，然后根据对顶角相等可得∠AED=∠CEF，从而得到∠CFA=∠AED，再根据等角对等边证明即可；（2）过点E作EG⊥AC于点G，根据角平分线的性质得到ED=EG，根据平移的性质可得=DE，然后求出∠ACD=∠B，再利用“角角边”证明△CEG≌全等，根据全等三角形对应边相等可得BE′=CE，从而得到BE′=CF．

试题解析：（1）∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB，∴∠EAD+∠AED=90°， ∴∠CFA=∠AED ，又∵∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠AED，∴CE=CF；

（2）答：=CF． 过点E作EG⊥AC于点G，

∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，∴ED=EG，∵△ADE平移得到，∴=DE，∴=GE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，在△CEG和中，∵，∴△CEG≌（AAS），∴CE=，又∵CE=CF，∴=CF．