Question

【题目】如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10.

(1)求此圆的半径；

(2)求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）圆的半径为2；（2）-

【解析】试题分析：（1）已知AC平分∠BCD，由角平分线的定义可得∠ACD=∠ACB，

再由AD∥BC，即可得∠ACB=∠DAC=∠ACD，因∠ADC=120°，根据等腰三角形的性质和圆内接四边形互补可得∠ACB=∠DAC=∠ACD =30°，∠B=60°，根据圆周角定理的推论可得AB=AD=DC，且∠BAC=90°，即可BC为直径；设圆心为O，AB=x，则BC=2AB=2x，

由四边形ABCD的周长为10cm，可得x+x+x+2x=10，解得x=2，即可求得⊙O的半径为2；（2）设圆心为O，连接OA、OD，由（1）可知OA=OD=AD，可得△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AOD=60°；因AD∥BC，可得,即可得.

试题解析：

（1）∵AC平分∠BCD，

∴∠ACD=∠ACB，

又∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC=∠ACD，

而∠ADC=120°，

∴∠ACB=∠DAC=∠ACD =30°，∠B=60°，

∴AB=AD=DC，且∠BAC=90°，

∴BC为直径，设圆心为O，AB=x，则BC=2AB=2x，

又∵四边形ABCD的周长为10cm，

∴x+x+x+2x=10，解得x=2，

即⊙O的半径为2.

（2）设圆心为O，连接OA、OD，

由（1）可知OA=OD=AD，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠AOD=60°；

∵AD∥BC，

∴,

∴.