【题目】如图，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，S是否有最大值？如有，请求出最大值，没有请说明理由.

参考答案：

【答案】(1) A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，抛物线对称轴为直线x=1 ；（2）①PF=m2+3m，m=2；②S=；当m=时，S取得最大值为.

【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x= 可得出对称轴的解析式；（2）①根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．②根据△BCF的面积=△PFC的面积+△PFB的面积，即可求出关于S、m的函数关系式，利用二次函数的性质求得最大值即可．

试题解析：

(1)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线对称轴为直线x=1；

(2)①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

把B(3,0)，C(0,3)分别代入得：

，

解得：k=1，b=3，

∴直线BC的解析式为y=x+3，

当x=1时，y=1+3=2，

∴E(1,2)，

当x=m时，y=m+3，

∴P(m,m+3)，

令y=x2+2x+3中x=1，得到y=4，∴D(1,4)，

当x=m时，y=m2+2m+3，∴F(m,m2+2m+3)，

∴线段DE=42=2，

∵0<m<3，∴线段PF=m2+2m+3(m+3)=m2+3m，

连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

由m2+3m=2,得到m=2或m=1(不合题意,舍去)，

则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

②连接BF、CF,设直线PF与x轴交于点M,由B(3,0) ,O(0,0)，

可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF(BM+OM)= PFOB，

∴S=×3(m2+3m)= m2+m= (0<m<3)，

则当m=时，S取得最大值为 .

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