Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点．

(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．

①依题意，请在图2中补全图形；

②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长

(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①补图见解析；②；（2）

【解析】试题分析：（1）根据作平移图形的方法作图即可；（2）证明四边形BCAD是矩形，得到CD＝AB＝6，由平移的性质得DE＝BP＝3，由BP⊥CE，BP∥DE得到△DEC是直角三角形，根据即可求出CE的长度；（3）当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小，由旋转可得，△AMN≌△APB， PB=MN，易得△APM、△ABN都是等边三角形，所以PA=PM，则PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，所以BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°，根据∠CAN=∠CAB+∠BAN=120°，所以∠CBN=90°，在Rt△ABC中，求得，在Rt△BCN中， 即为所求；

试题解析：

解：（1）①补全图形如图所示；

②如图，连接BD、CD，如图所示：

∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC=AD，

∵∠ACB=90°，

∴四边形BCAD是矩形，

∴CD=AB=6，

∵BP=3，

∴DE=BP=3，

∵BP⊥CE，BP∥DE，

∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中， ；

（2）证明：如图，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小

由旋转可得，△AMN≌△APB，

∴PB=MN

易得△APM、△ABN都是等边三角形，

∴PA=PM

∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°

∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

∴∠CBN=90°

在Rt△ABC中，易得

∴在Rt△BCN中，