Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M

（1）若∠B=70。 ， 求∠NMA．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小?若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2 × 70°=40°
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM=90°
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°
（2）解：（2）如图1，连接BM

∵AB=AC，AB=8cm
∴AC=8
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM
∵△MBC的周长是14cm
∴BM+CM+BC=14，
∴AM+CM+BC=14，
即AC+BC=14
∴BC=14-8=6
（3）存在；点P与点M重合；△PBC的周长最小值为14.
解：（3）如图1，∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点M与点P重合
∴PB+PC的值最小。
∴△PBC的周长最小值为14.
【解析】（1）根据等边对等角求出∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据垂线的定义得出∠ANM=90°，然后根据∠NMA=90°-∠A，计算即可得出答案。
（2）根据相等垂直平分线的性质得出AM=BM，再根据△MBC的周长是14cm，证得AC+BC=14 ，即可得出答案。
（3）根据轴对称的性质及两点之间的最短，可得出点P与点M重合，因此△PBC的周长最小值就是△MBC的周长。