Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a（a为常数）的图象与y轴相交于点A，与函数y= 的图象相交于点B（m，1）．

（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B在的图象上，

∴把B（m，1）代入y= 得m=2

∴B点的坐标为（2，1）

∵B（2，1）在直线y=ax﹣a（a为常数）上，

∴1=2a﹣a，

∴a=1

∴一次函数的解析式为y=x﹣1

（2）解：过B点向y轴作垂线交y轴于P点．

此时∠BPA=90°

∵B点的坐标为（2，1）

∴P点的坐标为（0，1）

当PB⊥AB时，

在Rt△P1AB中，PB=2，PA=2

∴AB=2

在等腰直角三角形PAB中，PB=PA=2

∴PA= =4

∴OP=4﹣1=3

∴P点的坐标为（0，3）

∴P点的坐标为（0，1）或（0，3）．

【解析】（1）易由与函数y= 的图象相交于点B（m，1）求得B点坐标，进而代入y=ax﹣a求得一次函数解析式。
（2）由一次函数的解析式为y=x﹣1，k=1，b=-1易得∠BAP=45°，所以△BAP为等腰直角三角形，①BP⊥y轴时，由B点的坐标为（2，1）得P点的坐标为（0，1）②当PB⊥AB时由A,B两点坐标易得AB=2，再利用勾股定理可得PA=4，可得P点的坐标为（0，3）所以P点的坐标为（0，1）或（0，3）。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用反比例函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．