Question

【题目】如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=5，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OC（如图所示），

则∠ACO=∠CAO （等腰三角形，两底角相等），

∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO．

∴∠DAC=∠ACO （两直线平行，内错角相等），

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD．

（2）过点E画OE⊥AC于E（如图所示），

在Rt△ADC中，AD= =6，

∵OE⊥AC，∴AE= ，AC= ，

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠，

∴△AEO∽△ADC，

∴ ，即： ，

∴AO= ，即⊙O的半径为

【解析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ACO与∠CAO的关系，根据平行线的性质，可得∠DAC与∠ACO的关系，根据等量代换，可得答案；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．