Question

【题目】如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是 ；∠EFD的度数为 ；

（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；

（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，请猜想线段EF与FC的关系，并验证你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）EF=FC，90°．（2）EF=FC，EF⊥FC，证明见解析；（3）EF=FC，EF⊥FC.

【解析】

试题解析：（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．

（2）延长线段CF到M，使使FM=CF，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；

（3）基本方法同（2）．

试题解析：（1）EF=FC，90°．

（2）延长CF到M，使使FM=CF，连接DM、ME、EC

∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，

∴△BFC≌△DFM，

∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，

∴MD=AC，MD∥BC，

∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，

∴△MDE≌△CAE，

∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，

∴∠MEC=90°，

∴EF=FC，EF⊥FC

（3）EF=FC，EF⊥FC．