Question

【题目】如图，已知矩形ABCD 中，E、F 分别为BC、AD 上的点，将四边形ABEF 沿直线EF 折叠后，点B 落在CD 边上的点G 处，点A 的对应点为点H．再将折叠后的图形展开，连接BF、GF、BG，若BF⊥GF．
（1）求证：△ABF≌△DFG；
（2）已知AB=3，AD=5，求tan∠CBG 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠AFB+∠ABF=90°，

∵BF⊥GF，

∴∠AFB+∠DFG=90°，

∴∠ABF=∠DFG，

由折叠知BF=GF，

在△ABF和△DFG中，

，

∴△ABF≌△DFG（AAS）；

（2）解：由（1）得DF=AB=3，DG=AF，

∴DG=AF=AD﹣DF=5﹣3=2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠C=90°，

∴CG=CD﹣DG=3﹣2=1，

∴tan∠CBG= ．

【解析】（1）根据∠AFB+∠ABF=90°，∠AFB+∠DFG=90°，即可得到∠ABF=∠DFG，由折叠知BF=GF，根据AAS即可判定△ABF≌△DFG；（2）根据全等三角形的性质可得DF=AB=3，DG=AF，求得DG再根据，四边形ABCD是矩形，求得CG，即可得出tan∠CBG 的值．
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质和翻折变换（折叠问题），掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等即可以解答此题．