Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，已知直线l1经过原点O 及A（2，2 ）两点，将直线l1向右平移4个单位后得到直线l2 ， 直线l2与x 轴交于点B．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）作∠AOB 的平分线交直线l2于点C，连接AC．求证：四边形OACB是菱形；
（3）设点P 是直线l2上一点，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P，当⊙P 与直线l1相切时，请求出圆心P 点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点A作AD⊥x轴于点D，设直线l2与y轴交于点E，（如图1）

∵A（2， ），

∴AD= ，OD=2，

∵l2∥l1，

∴∠OBE=∠AOD，

∴tan∠OBE=tan∠AOD= ，

∵OB=4，

∴OE= OB= ，

∴B（4，0）、E（0， ），

设直线l2为y=kx+b，则 ，

解得： ，

∴直线l2的函数表达式为 ．

（2）证明：∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵l2∥l1，

∴∠AOC=∠BCO，

∴∠BOC=∠BCO，

∴BC=OB=4，

过点C作CG⊥x轴于点G，（如图2）

∵∠CBG=∠AOD=60°，

∴CG= ，BG= ，

∴OG=OB+BG=4+2=6，

∴C（6， ），

∵A（2， ），

∴AC∥OB，

∵BC∥OA，

∴四边形OACB是平行四边形，

∵OB=BC，

∴四边形OACB是菱形．

（3）解：当点P在x轴上方时，

过点P作PM⊥l1于点M，过点B作BN⊥l1于点N，过点PQ⊥x轴于点Q，（如图3）

则 PB=PM=BN=OBsin∠BOM=4sin60°= ，

∴PQ=PBsin∠PBQ= sin60°=3，

BQ=PBcos∠PBQ= cos60°= ，

∴OQ=OB+BQ=4+ ，

∴P（4+ ，3），

当点P在x轴下方时，同理可得P（4﹣ ，﹣3），

∴点P的坐标为（4+ ，3）或P（4﹣ ，﹣3）

【解析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，设直线l2与y轴交于点E，由A的坐标可知AD与OD的长度，进而求出E的坐标，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式．（2）由角平分线的性质可知：∠AOC=∠BOC，过点C作CG⊥x轴于点G，由于l2∥l1 ， 所以∠AOC=∠BCO，从而可知：∠BOC=∠BCO，过点C作CG⊥x轴于点G，求出A、C的坐标可知两点的纵坐标相等，从而可知AC∥OB，由于OB=OC，所以四边形OACB是菱形；（3）由于点P的位置不确定，故需要分两种情况讨论，一是点P在x轴上方，二是点P在x轴下方，然后根据切线的性质即可求出P的坐标．