Question

【题目】以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是　 　；

（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；

（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．

Answer 1

【答案】（1）EB=FD；（2）EB=FD，证明见解析；（3）不变，∠EGD＝60°

【解析】试题分析：（1）EB=FD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB=FD；
（2）当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同（1）；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不发生变化，是一定值，为60°．

试题解析：

（1）EB=FD，

理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，

∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，

∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，

∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，

∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，

∴∠FAD=∠BAE，

在△AFD和△ABE中，

，

∴△AFD≌△ABE，

∴EB=FD；

（2）EB=FD．

证：∵△AFB为等边三角形

∴AF=AB，∠FAB=60°

∵△ADE为等边三角形，

∴AD=AE，∠EAD=60°

∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，

即∠FAD=∠BAE

∴△FAD≌△BAE

∴EB=FD；

（3）解：

同（2）易证：△FAD≌△BAE，

∴∠AEB=∠ADF，

设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°

于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，

∴∠EGD=180°﹣∠BED﹣∠EDF

=180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°

=60°．