Question

【题目】如图，等边△ABC中，AB=2，AD⊥BC，以AD、CD为邻边做矩形ADCE，将△ADC绕点D顺时针旋转一定的角度得到△A′DC′使点A′落在CE上，连接AA′，CC′．

（1）求AD的长；

（2）求证：△ADA′∽△CDC′；

（3）求CC′2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=30°，进而求出BD，即可得出结论；

（2）先判断出，即可得出结论；

（3）先求出A'C，A'E，进而利用勾股定理求出A'A2，即可得出结论．

（1）∵AD是等边三角形ABC的高，

∴∠B=60°，∠ADB=90°，

∴∠DAB=30°，

∵AB=2，∴BD=AB=1，

∴AD=；

（2）由旋转知，AD=A'D，CD=C'D，

∴，

由旋转知，∠ADA'=∠CDC'，

∴△ADA'∽△CDC'；

（3）在矩形ABCD中，∠DCE=90°，A'D=AD=，AE=CD=1，

∴A'C=，

∴A'E=CE﹣A'C=AD﹣A'C=，

在Rt△AEA'中，A'A2=A'E2+A'E2=（）2+12=6﹣2，

∵△ADA'∽△CDC'，

∴，

∴CC'2．