Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，A, B是直线l上的两点，点B关于AD的对称点为M，连接交AD于F点.

（1）若，如图，

①依题意补全图形；

②判断MF与FC的数量关系是 ；

（2）如图，当时，，CD的延长线相交于点E，取E的中点H，连结HF. 用等式表示线段CE与AF的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①见解析② FM=FC（2）CE=AF

【解析】

（1）①按要求画图即可；②根据“AAS”证明△AFM≌△DFC，即可证明结论成立；

（2）过点M作∥CD交AD于点G．先证明MG=AM，从而MG=CD，根据“AAS”可证△MFG≌ △CFD，进而GF=FD，HF是△CME的中位线，可得.再证明∠FHA=90°，根据勾股定理得出，进而可求出线段CE与AF的数量关系.

（1）①如图，

② FM=FC．

∵点B关于AD的对称点为M，

∴AB=AM.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD,

∴AM=CD.

∵，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠MAF=∠CDF,

又∵∠AFM=∠CFD,

∴△AFM≌△DFC，

∴FM=FC;

（2）CE与AF的数量关系是CE=AF

证明：过点M作∥CD交AD于点G．

∵B，M关于AD对称，

∴∠1=∠2，AB=AM．

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB∥CD.

∵MG∥CD，

∴MG∥AB．

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．

∴AM=MG．

∵AB=AM，AB=CD，

∴MG=CD．

∵MG∥CD，

∴ ∠4=∠FDC．

∵∠MFG=∠CFD，

∴ △MFG≌ △CFD.

∴ FM=FC．

∴F为CM的中点，

∵H为ME的中点,

∴ FH∥CE，

∵∠ABC=135°， 平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠2=180°-∠ABC=45°．

∴由对称性，∠1=∠2=45°.

∵FH∥CD，AB∥CD，

∴FH∥AB．

∴∠HFA=∠2=45°.

∴∠FHA=90°，HA=HF．

∴，

∴，

又，

∴，

，

∴．