Question

【题目】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：

，，；则、、这三个数都是奇特数．

（1）和这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．

（2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是的倍数吗？为什么？

Answer 1

【答案】(1)32是奇特数，32=92-72，2012不是奇特数；(2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由见解析.

【解析】

(1)根据32=92-72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，进行判断；

(2)利用平方差公式计算(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．

解：(1)∵32=92-72，

∴32是奇特数；

∵8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，2012不是8的倍数，

∴2012这个数不是奇特数；

(2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：

(2n+1)2-(2n-1)2

=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)

=4n×2

=8n.

故答案为：(1)32是奇特数，32=92-72，2012不是奇特数；(2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由见解析.