Question

【题目】如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；
②当x= 时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确结论是 ． （填序号）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：∵菱形ABCD的边长为2，

∴AB=BC=2，

∵∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，BD=2 ，

由折叠知，△BEF是等边三角形，

当x=1时，则AE=1，

∴BE=AB﹣AE=1，

由折叠知，BP=2× = = BD，

∴点P是菱形ABCD的对角线的交点，

即：点P是菱形ABCD的中心，所以①正确，

如图，

∵AE=x，

∴BE=AB﹣AE=2﹣x，

∵△BEF是等边三角形，

∴EF=BE=2﹣x，

∴BM= EM= × EF= （2﹣x），

∴BP=2BM= （2﹣x），

∴DP=BD﹣BP=2 ﹣ （2﹣x）= x，

∴DN= DP= x，

∴GH=2GN=2× x=x，

当x= 时，AE= ，

∴BE=AB﹣AE= ，

∵△BEF是等边三角形，

∴EF=BE= ，BP= ，

∴DP= ，

∴GH=DG= ，

∴EF+GH=2=AC，所以②错误；

当0＜x＜2时，

∵AE=x，

∴BE=2﹣x，

∴EF=2﹣x，

∴BP= （2﹣x），

∴DP= x，

∴GH=2× =x=DG=DH，

∴六边形AEFCHG面积=S菱形ABCD﹣S△BEEF﹣S△DGH

= ×2×2 ﹣ （2﹣x）2﹣ x2

=2 ﹣ （x﹣1）2﹣

=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴当x=1时，六边形AEFCHG面积最大为 ，所以③错误，

六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG

=x+2﹣x+x+2﹣x+x+2﹣x=6是定值，

所以④正确，即：正确的有①④，

所以答案是①④．

【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和菱形的性质，需要了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能得出正确答案．