Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E，构造出平行四边形AEDF．

（1）若点D在线段BC上时． ①求证：FB＝FD．②求证：DE＋DF＝AC．

（2）点D在边BC所在的直线上，若AC＝8，DE＝3，请作出简单示意图求DF的长度，不需要证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析，见解析；（2）DF=BF=5或DF=BF=11 见解析.

【解析】

（1）①根据等腰三角形性质得∠B＝∠C，由平行线性质得∠FDB＝∠C，等量代换得∠B＝∠FDB，根据等腰三角形性质：等角对等边即可得证.
②由平行四边形性质得ED＝AF，AE＝FD，由①知FB＝FD，等量代换得AE＝FB，从而可得DE＋DF＝ AF＋ FB＝AB=AC．
（2）如图1：根据平行四边形性质得AF=DE=3，DF=AE，由（1）知FB=FD，由DF=BF=AB-AF=8-3=5；
如图2：根据平行四边形性质得AF=DE=3，DF=AE，由（1）知FB=FD，由DF=BF=AB+AF=8+3=11.

解：（1）①∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵DF//AC，

∴∠FDB＝∠C，

∴∠B＝∠FDB，

∴FB＝FD．

②∵四边形AEDF是平行四边形，

∴ED＝AF，AE＝FD，

∵FB＝FD，

∴AE＝FB，

∴DE＋DF＝ AF＋ FB＝AB，

∵AB＝AC，

∴DE＋DF＝AC．

（2）如图1，

∵四边形AEDF为平行四边形，

∴AF=DE，DF=AE，

由（1）知FB=FD，

∵AC=8，DE=3，AB=AC，

∴AF=3，BF=AB-AF=8-3=5，

∴DF=BF=5；

如图2，

∵四边形AEDF为平行四边形，

∴AF=DE，DF=AE，

由（1）知FB=FD，

∵AC=8，DE=3，AB=AC，

∴AF=3，BF=AB+AF=8+3=11，

∴DF=BF=11；