Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BA= ，OI⊥AD于I，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

∵EB=EI，

∴∠EBI=∠EIB，

∵IB平分∠ABC，

∴∠ABI=∠DBI，

又∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠EIB=∠ABI+∠BAI，

∴∠EBD=∠BAI，

又∠EBD=∠CAD，

∴∠BAI=∠CAD，

即AE平分∠BAC

（2）解：

∵OI⊥AD，AB为圆O直径，

∴∠OIA=∠E=90°，

∴OI∥BE，

∴∠OIB=∠EBI

∵EB=EI，

∴∠EBI=∠EIB，

∴∠OIB=∠DIB，

∵IB平分∠ABC，

∴∠ABI=∠DBI，

在△BDI和△BOI中

∴△BDI≌△BOI（ASA），

∴AO=BO=BD= ，

∴AB=2AO=2

又AI=EI=EB，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=BE2+AE2，

即（2 ）2=（2AI）2+AI2，解得AI=2，

∴OI=ID= BE= AI=1，

∴AD=AI+DI=2+1=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2﹣CD2，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2=AB2﹣BC2，

即 ，解得CD=

【解析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质，结合外角的性质可求得∠EBD=∠BAI，再利用同弧所对的圆周角相等可求得∠EBD=∠CAD，从而可证明∠BAI=∠CAD，即AE平分∠BAC；（2）可先证明△BDI≌△BOI，可求得AB、AD、BD的长，分别在Rt△ABC和Rt△ACD中，可得到关于AC、CD的方程组，可求得CD的长．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．