【题目】如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：

①；

②；

③方程有两个相等的实数根；

④抛物线与轴的另一个交点是；

⑤当时，有．

其中正确结论的个数是（ ）

A. B. C. D.

参考答案：

【答案】C

【解析】

根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1<x<4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．

∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，

∴抛物线的对称轴为直线

∴2a+b=0，所以①正确；

∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∴b=2a>0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c>0，

∴abc<0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，

∴x=1时，二次函数有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，所以④错误；

∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B点(4,0)

∴当1<x<4时,y2<y1，所以⑤正确。

故选：C.

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