Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于 ．

Answer 1

【答案】 或 或
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点， ∴∠BAD=90°，AE=DE=1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE= AB= ．
若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：①当BP=BE时，显然BP= ；②当PB=PE时，如图，连结AP．

∵PB=PE，AB=AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠EAP=45°．
作PM⊥AB于M，设PM=x，
∵S△ABD=S△ABP+S△APD
∴ ×1x+ ×2x= ×1×2，
解得x= ，
∴PM= ，
∴BP= = = ；③当EB=EP时，如图，过A作AF⊥BD于F，

过E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF=ABsin∠ABF=1× = ，
∵AE=ED，EG∥AF，
∴EG= AF= ．
在Rt△BEG中，∵BE= ，EG= ，
∴BG= = ．
∵EB=EP，EG⊥BP，
∴BP=2BG= ．
综上所述，线段BP的长度等于 或 或 ．
故答案为 或 或 ．
先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰直角三角形，BE= AB= ．再分三种情况讨论：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP．