Question

【题目】如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE交AD 于点 F.

（1）求证：△BDF 是等腰三角形；

（2）如图 2，过点 D 作 DG∥BE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O．

①判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由；

②若 AD=AB+2，BD=10，求四边形 BFDG 的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形BFDG是菱形；理由见解析；②.

【解析】

（1）根据折叠的性质可得∠DBC＝∠DBE，根据矩形的性质可得∠DBC＝∠ADB，等量代换可得∠DBE＝∠ADB，问题得证；

（2）①根据矩形的性质及第一问证得邻边相等可得四边形BFDG是菱形；

②在△ABD中根据勾股定理列一元二次方程求出AB，然后在直角△ABF中设DF=BF＝x，利用勾股定理构造方程求解，最后根据菱形面积公式计算即可．

解：（1）证明：如图1，

根据折叠的性质可得：∠DBC＝∠DBE，

∵AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∴∠DBE＝∠ADB，

∴DF＝BF，

∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

又∵DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形，

∵DF＝BF，

∴四边形BFDG是菱形；

②由勾股定理得：AB2+AD2=BD2，即AB2+(AB+2)2=100，

解得：AB=6（负值已舍去），

∴AD=AB+2=8，

设DF＝BF＝x，则AF＝ADDF＝8x．

在直角△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋（8x）2＝x2，

解得x＝，

∴S四边形 BFDG=．