Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．

（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；

（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，②（29﹣8）π．

③⊙P的面积为．

【解析】分析：（1）首先求出DM的长，再证明四边形ABMD是平行四边形即可解决问题；

（2）如图2中，过点C作CH⊥BD，垂足为点H．首先用x表示BE的长，再根据EG＝BEsin∠DBC＝，求解即可；

（3）分三种情形分别求解即可解决问题；

详解：（1）如图1中，连接DM．

在Rt△DCM中，，

∵AD∥BC BM=AD，

∴四边形ABMD为平行四边形，

∴AB=DM=，

即⊙B的半径为．

（2）如图2中，过点C作CH⊥BD，垂足为点H．

在Rt△BCD中，，

∴，

可得∠DCH=∠DBC，

∴，

在Rt△DCH中，DH=DCsin∠DCH=，

∵CH⊥BD，

∴DE=2DH=，

∴

∵⊙C与⊙B相交于点E、F，

∴EF=2EG，BC⊥EF，

在Rt△EBG中，

，

∴(x>)．

（3）①如图3中，当PE∥AD时，设PC交DE于H，则CH垂直平分线段DE．

在Rt△BCD中，BD=，CH=，

DH=，

∴EH=DH=，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴PE∥BC，

∴∠HEP=∠HBC，

∴cos∠HEP=cos∠CBD，

∴，

∴，

∴PE=，

∴⊙P的面积为π．

②如图4中，当AP∥DE时，作AT⊥BC于T，设AD交PC于Q，BD交PC于H．

由①可知：DE=2，BE=BA=3，AT=CD=5，

在Rt△ABT中，BT=，

∴AD=CT=10﹣2，

由△DQH∽△BDC，可得DQ=，QH=，

∴AQ=AD﹣DQ=﹣2，

由△APQ∽△DHQ，可得PQ=﹣2，

在Rt△PDH中，PD2=DH2+PH2=29﹣8，

∴⊙P的面积为（29﹣8）π．

③如图5中，当DP∥AE时，作AR⊥BD于R．

由△ADR∽△DBC，

∴，

∴AR=2﹣2，DR=4﹣4，

∴ER=DR﹣DE=2﹣4，

在Rt△ARE中，AE=，

∵AE∥DP，

∴∠AER=∠PDQ，

∴cos∠AER=cos∠PDH，

∴，

∴PD=，

∴⊙P的面积为．