Question

【题目】阅读下列各题并按要求完成：

（1）定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程 x 2x 0 与 x 3x m 1 0 为“友好方程”，求 m 的值；

（2）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,,且二次根式有意义，若T=，求T的取值范围;

（3）我们不妨约定方程的整数解称之为“硬核”，例如x=1就称为方程(x-1)(2x+1)=0 的一个“硬核”，若一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0（k为常数）有两个不同的“硬核”，试确定方程的两个“硬核”及常数 k 的值.

Answer 1

【答案】（1）9或1；（2）；（3）方程的两个“硬核”为3和1，k＝.

【解析】

（1）首先解第一个方程，然后利用友好方程的定义代入第二个方程求得m的值即可；

（2）首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根和二次根式有意义的条件，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后对T进行化简，代入x1+x2=4-2m，x1x2= m2-3m+3，可得，最后由m的取值范围可得T的取值范围；

（3）由方程为一元二次方程即可得出k-3k+2≠0，解之可得出k≠1且k≠2，利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝，x2＝，由方程的两根均为整数可设，（其中m、n均是不为1的整数），分析得出k≠0，n≠0，解分式方程用含m、n的代数式表示出k值，得到m＝2，结合m、n均为整数即可求出n＝1，然后易求m与k值，此题得解．

解：（1）解x22x＝0得：x＝0或x＝2，

∵关于x的一元二次方程x22x＝0与x2＋3x＋m1＝0为“友好方程”，

∴22＋3×2＋m1＝0或02＋3×0＋m1＝0，

解得：m＝9或m＝1，

∴m的值为9或1；

（2）∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，

∴△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)＞0，x1+x2=4-2m，x1x2= m2-3m+3，

∵二次根式有意义，

∴m+1≥0,

∴-1≤m＜1，

∴T=

，

∴，即;

（3）∵方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0为一元二次方程，

∴k-3k+2＝（k1）（k2）≠0，

∴k≠1且k≠2．

∵(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k＝[（k1）x＋k][（k2）x＋k1]＝0，

∴x1＝，x2＝，

∵一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0有两个不相等的整数解，

∴设，（其中m、n均是不为1的整数），

∵当k＝0时，x1＝0，x2＝，

∴k≠0，

∵k≠1，

∴n≠0．

∴k＝＝，

∴m＝2．

∵m为整数，n为整数，

∴n＝1或n＝1（舍去）．

∴，m=2=3，

解得：k＝．

即方程的两个“硬核”为3和1，k＝.