Question

【题目】如图，已知为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于，.

(1)求证：；

(2)连结当且时，求的度数；

(3)若时，将线段沿直线 方向平移,记平移后的线段为（，分别对应、当时，请直接写出的度数_______.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠EDF=∠DAB，根据角平分线 的定义得到∠EDF=∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠DCF=α，则∠CFB=1.5α，根据平行线的性质得到∠ABF=∠CFB=1.5α，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠ABF=3α，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到四边形BCDF是平行四边形，得到∠CDF=∠CBF，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠CBF，∠CDE=2∠CDF，求得∠DCB=120°，根据平行的性质得到BC∥PQ，根据四边形的内角和列方程即可得到结论．

（1）∵AB∥DE，
∴∠EDF=∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴∠ADC=∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC；
（2）∵∠CFB=∠DCF，
∴设∠DCF=α，则∠CFB=1.5α，
∵CF∥AB，
∴∠ABF=∠CFB=1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF=3α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠BCD=∠ABC=3α，
∴∠BCF=2α，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∴3α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠BCD=3×36°=108°；
（3）如图，

∵∠DCF=∠CFB，
∴BF∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴∠CDF=∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC=2∠CBF，∠CDE=2∠CDF，
∴∠ABC=2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=120°，∠CDF=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∴∠APQ=120°，
∵∠PQD-∠QDC=20°，
∴∠QDC=∠PQD-20°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD+∠APQ+∠DAB=60°+∠PQD-20°+∠PQD+120°+60°=360°，
∴∠PQD=70°．
故答案为：70°．