Question

【题目】已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF．

（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的长；

（2）求证：∠AED=∠DFE．

Answer 1

【答案】（1）2﹣2（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）首先根据勾股定理求出CE的长，进而得到AC的长，因为AC=BC，所以BC可求，利用BH=BC﹣CG计算即可；

（2）连接CD，通过证明分别证明△ACE≌△CBF和△DCE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可证明∠AED=∠DFE．

（1）解：∵∠CAG=∠FCB=30°，EG=1，sin30°==

∴CG=2，

∴CE==

∵sin30°=，

∴AC=2，

∴BC=2

∴BG=2﹣2；

（2）证明：连接CD，

在△ACE和△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴CE=BF，

∵等腰RT△ABC中，点D是AB的中点，

∴CD=BD，

∵CD⊥BD，

∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，

∴∠DCE=∠DBF，

在△DCE和△DBF中，

∴△DCE≌△DBF（SAS），

∴∠CED=∠BFD，

∵∠AEC=∠CFB=90°，

∴∠AED=∠DFE．