Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若HB=2，cosD= ，请求出AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A

∴∠COB=∠D，

∵DE⊥AP，

∴∠DEP=90°，

在Rt△DEP中，∠DEP=90°，

∴∠P+∠D=90°

∴∠P+∠COB=90°，

∴∠OCP=90°，

∴半径OC⊥DC，

∴DC与⊙O相切

（2）解：由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，

∴cos∠COP=cos∠D= ，

∵CH⊥OP

∴∠CHO=90°，

设⊙O的半径为r，

则OH=r﹣2

在Rt△CHO中，

cos∠HOC= = =

∴r=5

∴OH=5﹣2=3

∴由勾股定理可知：CH=4，

∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8

在Rt△AHC中，∠CHA=90°，

∴由勾股定理可知：AC=4

【解析】（1）证切线可连结半径，证垂直；（2）转化cos∠COP=cos∠D，在Rt△CHO中利用三角函数列方程求出r从而求出AC.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和直线与圆的三种位置关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．