Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一动点(不与B，C重合)，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF.

(1)试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．

(2)若∠BAC＝30°，连接CE，在D点运动过程中，探求CE与AD的数量关系．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)EF和CF分别是直角△AED和直角△ACD斜边上的中线，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得；

(2)证明△EFC是等边三角形，然后根据等边三角形的定义以及直角三角形的性质求解．

(1)EF＝CF，理由如下：

在Rt△AED和Rt△ACD中，

∵点F是线段AD的中点，

∴EF＝AD，CF＝AD，

∴EF＝CF；

(2)由(1)可知，EF＝AF＝CF，

∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF，

∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF，

∴∠EFC＝2∠BAC＝60°，

又EF＝CF，

∴△EFC为等边三角形，

∴CE＝EF＝AD.