Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论是___________.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②错误；由抛物线过点（-1，0），得出a-b+c=0，即a=b-1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；由a-b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（-1，0）， ∴c=1，a-b+c=0．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=－＞0， ∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac＞0， ∵c=1，∴b2-4a＞0，b2＞4a，错误；

④∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵ab＜0，∴b＞0．∵a-b+c=0，c=1，∴a=b-1，

∵a＜0，∴b-1＜0，b＜1，∴0＜b＜1，正确；

③∵a-b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正确；

⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（-1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，

由图可知，当x0＞x＞-1时，y＞0，错误； 综上所述，正确的结论有①③④．