Question

【题目】如图1，已知平行四边形ABCD，BC∥x轴，BC＝6，点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣3，﹣4），点C在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．

（1）若点P在边CD上，BC＝CP，求点P的坐标；

（2）如图2，若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，求点P的坐标；

（3）若点P在边AB，AD，BC上，点E是AB与y轴的交点，如图3，过点P作y轴的平行线PF，过点E作x轴的平行线E，它们相交于点F，将△PEF沿直线PE翻折，当点F的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）P1（﹣3，﹣4），P2（5，4），P3（﹣1，0），P4（3，4）；（3）（-，﹣3）或（2，4）或（，﹣4）．

【解析】

（1）根据平行四边形性质可求得点C、D坐标，再利用待定系数法求直线CD解析式，根据点P在边CD上，BC＝CP，可设P（t，2t10），运用两点间距离公式或勾股定理可建立关于t的方程，解方程即可求得P的坐标；

（2）先运用待定系数法求直线AB解析式和直线AD解析式，根据点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x＋1上，分两种情况：①如图2，点P在边AB，AD上，点P关于x轴对称的点Q落在直线y＝x＋1上，②如图3，点P在边AB，AD上，点P关于y轴对称的点Q落在直线y＝x＋1上，分别求得点P的坐标即可；

（3）分三种情况：①若点P在边AB上，②若点P在边AD上，③若点P在边BC上，运用翻折性质、勾股定理分别求出点P的坐标．

解：（1）∵平行四边形ABCD

∴AD＝BC＝6，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC

∵BC∥x轴，

∴AD∥x轴，

∵点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣3，﹣4），点C在第四象限，

∴C（3，﹣4），D（7，4）

设直线CD解析式为y＝kx+b，则 ，解得，

∴直线CD解析式为y＝2x﹣10，

∵点P在边CD上，BC＝CP，设P（t，2t﹣10），

则（t﹣3）2+[2t﹣10﹣（﹣4）]2＝36，

解得：t1＝ （舍去），t2＝，

∴P（，）；

（2）∵A（1，4），B（﹣3，﹣4），D（7，4）

∴直线AB解析式为y＝2x+2，直线AD解析式为y＝4，

点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，分两种情况：

①如图2，点P在边AB，AD上，点P关于x轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，

当点P在AB上时，设P（m，2m+2），则Q（m，﹣m+1）

∴2m+2+（﹣m+1）＝0，

解得m＝﹣3

∴P1（﹣3，﹣4），

当点P在AD上时，设P（m，4），则Q（m，﹣m+1）

∴4﹣m+1＝0，

解得：m＝5，

∴P2（5，4）

②如图3，点P在边AB，AD上，点P关于y轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，

当点P在AB上时，设P（m，2m+2），则Q（﹣2m﹣1，2m+2）

∴m﹣2m﹣1＝0，

解得：m＝﹣1，

∴P3（﹣1，0）

当点P在AD上时，设P（m，4），则Q（﹣3，4），

∴m﹣3＝0，

解得：m＝3

∴P4（3，4），

综上所述，点P的坐标为：P1（﹣3，﹣4），P2（5，4），P3（﹣1，0），P4（3，4）；

（3）在y＝2x+2中，令x＝0，则y＝2，

∴E（0，2），

①若点P在边AB上，如图4设点P（m，2m+2），则F（m，2）

由翻折得：EF′＝EF＝﹣m，FF′⊥BE

设直线FF′解析式为y＝k′x+b′，则k′＝，

∴m+b′＝2，解得：b′＝m+2

∴直线FF′解析式为y＝x+m+2，

令y＝0，得x＝m+4，

∴F′（m+4，0），

在Rt△OEF′中，OE2+OF′2＝EF′2

∴22+（m+4）2＝（﹣m）2，

解得：m＝，

∴P（，﹣3），

②若点P在边AD上，如图5设P（m，4），则F（m，2），

由题意可知，△PEF沿直线PE翻折后，点F的对应点F′落在y轴上，

由翻折得：EF′＝EF＝m，∠PEF＝∠PEF′

∵EF⊥y轴

∴∠FEF′＝90°

∴∠PEF＝∠PEF′＝45°

∴△PEF是等腰直角三角形

∴EF＝PF，即m＝2

∴P（2，4），

③若点P在边BC上，如图6设PF交x轴于点G，P（m，﹣4），则F（m，2）

∴PF＝6，EF＝﹣m，PG＝4，

由翻折得：EF′＝EF＝﹣m，PF′＝PF＝6

∵PF⊥x轴

∴F′G＝，

∴F′（m+，0）

在Rt△OEF′中，OE2+OF′2＝EF′2

∴22+ ( m+)2=m2，

解得：m＝ ，

∴P（，﹣4），

综上所述，点P的坐标为（，﹣3）或（2，4）或（，﹣4）．