Question

【题目】如图，点P在正方形ABCD边AD上，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点 Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ，若PQ=PB+PD+3，则△PAB的面积为____.

Answer 1

【答案】

【解析】

设正方形的边长AB=a，PA=x，首先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可知QC=PA，利用方程思想和勾股定理，等量代换易得ax，可得结果．

设正方形的边长AB=a，PA=x，

∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，

∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，

∵∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PBA=∠QBC，

在Rt△PAB和Rt△QCB中，

，

∴△PAB≌△QCB（ASA），

∴QC=PA=x，

∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD-PA=a-x，

在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，

∵PQ2=PB2+PD2+3，

∴（a-x）2+（a+x）2=x2+a2+（a-x）2+3，

解得：2ax=3，

∴ax=，

∵S△PAB =PAPB=ax=，

故答案为：.