Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4，∠CBA=30°，点D在AO上运动，点E与点D关于AC对称：DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：

①CE=CF；

②线段EF的最小值为；

③当AD=1时，EF与半圆相切；

④当点D从点A运动到点O时，线段EF扫过的面积是4．

其中正确的序号是 ．

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

试题分析：

①连接CD，如图1所示．

∵点E与点D关于AC对称，

∴CE=CD．

∴∠E=∠CDE．

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°．

∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．

∴∠F=∠CDF．

∴CD=CF，

∴CE=CD=CF．故①正确．

②当CD⊥AB时，如图所示．

∵AB是半圆的直径，

∴∠ACB=90°．

∵AB=4，∠CBA=30°，

∴∠CAB=60°，AC=2，BC=2．

∵CD⊥AB，∠CBA=30°，

∴CD=BC=．

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．

∵CE=CD=CF，

∴EF=2CD．

∴线段EF的最小值为2．故②错误．

③当AD=1时，连接OC，如图所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，

∴△OAC是等边三角形．

∴CA=CO，∠ACO=60°．

∵AO=2，AD=1，

∴DO=1．

∴AD=DO，

∴∠ACD=∠OCD=30°，

∵点E与点D关于AC对称，

∴∠ECA=∠DCA，

∴∠ECA=30°，

∴∠ECO=90°，

∴OC⊥EF，

∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，

∴EF与半圆相切．故③正确．

④∵点D与点E关于AC对称，

点D与点F关于BC对称，

∴当点D从点A运动到点O时，

点E的运动路径AM与AO关于AC对称，

点F的运动路径NG与AO关于BC对称．

∴EF扫过的图形就是图中阴影部分．

∴S阴影=2S△AOC=2×ACBC=2．故④错误．

故答案为①③．