Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C与直线AD交于点A(1，2)，点D的坐标为(0，1)

(1)求直线AD的解析式；

(2)直线AD与x轴交于点B，请判断△ABC的形状；

(3)在直线AD上是否存在一点E，使得4S△BOD＝S△ACE，若存在求出点E的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x+1；(2)△ABC是等腰直角三角形；(3)存在，点E的坐标为(2，3)或(0，1)时，4S△BOD＝S△ACE．

【解析】

(1)利用待定系数法，即可得到直线AD的解析式；

(2)依据点的坐标求得AB＝2，AC＝2，BC＝4，即可得到AB2+AC2＝16＝BC2，进而得出△ABC是等腰直角三角形；

(3)依据4S△BOD＝S△ACE，即可得到AE＝，分两种情况进行讨论：①点E在直线AC的右侧，②点E在直线AC的左侧，分别依据AD＝AE＝，即可得到点E的坐标．

解：(1)直线AD的解析式为y＝kx+b，

∵直线AD经过点A(1，2)，点D(0，1)，

∴，

解得，

∴直线AD的解析式为y＝x+1；

(2)∵y＝x+1中，当y＝0时，x＝﹣1；y＝﹣x+3中，当y＝0时，x＝3，

∴直线AD与x轴交于B(﹣1，0)，直线AC与x轴交于C(3，0)，

∵点A(1，2)，

∴AB＝2，AC＝2，BC＝4，

∵AB2+AC2＝16＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(3)存在，

AC＝2，S△BOD＝×1×1＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAE＝90°，

∵S△ACE＝AE×AC，4S△BOD＝S△ACE，

∴4×＝×AE×2，

解得AE＝，

①如图，当点E在直线AC的右侧时，过E作EF⊥y轴于F，

∵AD＝AE＝，∠EDF＝45°，

∴EF＝DF＝2，OF＝2+1＝3，

∴E(2，3)；

②当点E在直线AC的左侧时，

∵AD＝AE＝，

∴点E与点D重合，即E(0，1)，

综上所述，当点E的坐标为(2，3)或(0，1)时，4S△BOD＝S△ACE．