Question

【题目】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形；

（2）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°.

①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF；

②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF=∠BAD，①中的结论是否仍然成立？请说明理由

Answer 1

【答案】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；（2）①证明见解析；②不成立；理由见解析；

【解析】

（1）由旋转的性质易得△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；

（2）①如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，易证△ADF≌△ABG，故∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，由2∠EAF=∠BAD得∠EAF=∠EAG，从而得△AEF≌△AEG，易得证；

②不成立.如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABH，可证得△AEF≌△AEH，从而得出EF=BE-DF.

（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；

（2）①如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABG，

∵AB=AD,∠ABC=∠D=，

∴∠ABC+∠ABG=即∠GBC=，

易得△ADF≌△ABG，

∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，

∵2∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=∠EAG，

∵AE=AE，

∴△AEF≌△AEG，

∴EF=EG=BE+BG=BE+DF，

即EF=BE+DF.

②不成立

理由如下：如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABH，

∵AB=AD,∠B=∠ADC=∠ADF=

∴点H在BC上,易得AF=AH,BH=DF,∠1=∠2

∴∠EAF=∠EAD+∠1=∠EAD+∠2,

∵2∠EAF=∠BAD=∠EAD+∠2+∠EAH，

∴∠EAF=∠EAH，

又∵AE=AE，

∴△AEF≌△AEH，

∴EF=EH=BE-BH=BE-DF,即EF=BE-DF，

∴①中的结论不成立.