Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB.

（1）求证：PB是的切线；
（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB为圆的半径，

∴PB为圆O的切线.

（2）

解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，

根据勾股定理得：PD==10，

∵PD与PB都为圆的切线，

∴PC=PB=6，

∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，

根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，

解得：r=3，

则圆的半径为3．

【解析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．