Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．

（1）求证：DB=DE；

（2）求证：直线CF为⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；

（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；

试题解析：（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．

（2）连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．