Question

【题目】已知，如图正方形ABCD中，E为BC上任意一点，过E作EF⊥BC，交BD于F，G为DF的中点，连AE和AG．
（1）如图1，求证：∠FEA+∠DAG=45°；
（2）如图2在（1）的条件下，设BD和AE的交点为H，BG=8，DH=9，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：作GM⊥BC于M，连接GE、GC，如图1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG，

∴AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，

∵G点为DF的中点，FE⊥BC，GM⊥BC，DC⊥BC，

∴GM为梯形CDFE的中位线，

∴EM=CM，

∴GE=GC，∠5=∠4，

∴GM平分∠EGC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，

∵GM∥CD，

∴∠MGD=180°﹣∠GDC=135°，即∠2+∠DGC=135°，

∴∠AGD+∠3=∠2+∠DGC=135°，

∴∠AGE=90°，

∴△AGE为等腰直角三角形，

∴∠AEG=45°，即∠FEA+∠6=45°，

∴∠FEA+∠DAG=45°；

（2）解：把△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QH，如图2，

∴∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，

∵∠FEA+∠DAG=45°；

而∠FEA=∠BAE，

∴∠BAE+∠DAG=45°；

∴∠EAG=45°，

∴∠QAE=45°，

在△QAH和△GAH中

，

∴△QAH≌△GAH，

∴HQ=HG，

设BH=x，则HG=BG﹣BH=8﹣x，

∴HQ=8﹣x，

∵DH=BG+DG﹣BH，

∴DG=9﹣8+x=x+1，

∴BQ=x+1，

∵∠ABQ+∠ABD=45°+45°=90°，

∴△BQH为直角三角形，

∴BQ2+BH2=QH2，即（x+1）2+x2=（8﹣x）2，解得x=3，

∴BD=BH+DH=3+9=12，

∴AD= BD=6 ．

【解析】（1）作GM⊥BC于M，连接GE、GC，如图1，由正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，再证明△ADG≌△CDG得到AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，接着利用等腰三角形的判定与性质得到GC=GE，∠5=∠4，∠2=∠3，从而得到∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，再证明△AGE为等腰直角三角形得到∠AEG=45°，从而得到∠FEA+∠DAG=45°；（2）把△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QH，如图2，利用旋转的性质得∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，再证明△QAH≌△GAH得到HQ=HG，设BH=x，用x表示出则HG=HQ=8﹣x，BQ=x+1，然后在Rt△BQH中利用勾股定理得到（x+1）2+x2=（8﹣x）2，解得x=3，则BD=BH+DH=12，然后根据等腰直角三角形的性质求AD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．