Question

【题目】如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以B为圆心，半径为3的⊙O沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，当⊙O运动到与直线相交于点C时（点O在BC上），⊙O停止运动．

（1） （2） （3）
（1）当运动停止时，试判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）在平移过程中，若⊙O与AB相切于点D，连接CD ， 求△ACD的面积；
（3）在平移过程中，若⊙O经过AB的中点G时， E、F为OC上的两个动点，且EF＝1.6，当四边形AGEF的周长最小时，试求OE的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

答：直线AB与⊙O相切

证明：作OD⊥AB于D，

∵BC＝8，OC＝3，∴OB＝5

∵AC＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理，

得AB＝ ＝ ＝10

在△ABC和△OBD中，

∵∠ACB＝∠ODB＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△OBD

∴ ＝ ，∴OD＝ ＝ ＝3

∴直线AB与⊙ O相切

（2）

解：过点D作DH∥BC交AC于H

则，

∴DH＝＝ ＝

S△ACD＝AC·DH＝×6× ＝

（3）

连接GO与⊙O相交于点G′，则OG＝OG′，过A作AN//OG相交于N，在AN上截取AM＝1.6，连接MG′与BC交于点E，在EC上截取EF＝1.6，

则四边形EFAM为平行四边形，得ME＝AF，又AG、EF的长为定值，

∴此时得到的点E、F使四边形AGEF的周长最小

∵OE∥AN，∴Rt△OEG′∽Rt△NM G′，∴ ＝ ，

∴OE＝ ·NM＝ (AN－AM)＝ ×(4－1.6)＝ 0.8．

∴点OE的长度为0.8．

【解析】（1）由切线的定义，圆心到一直线上的距离等于半径，则这条线是该圆的切线；所以此题可作OD⊥AB于D ， 求出OD的长，即可证明；
（2）根据三角形的面积=底×高，可作作DH∥BC交AC于H ， 求出底边AC上的高DH的长，则由平行线分线段成比例可得 ， 代入相关数据，即可解出DH，从而求出S△ACD；
（3）根据轴对称-求最短路径的原理，连接GO与⊙O相交于点G′ ， 由垂径定理得OG＝OG′ ， 因为EF在OC上，所以可过A作AN//OG相交于N ， 在AN上截取AM＝1.6， 在EC上截取EF＝1.6，此时，G′ ， E，M三点共线，则G′E+EM值最小，即GE+AF最小，由AG、EF的长为定值，则此时四边形AGEF的周长最小；则可根据OE∥AN ， 得到Rt△OEG′∽Rt△NM G′ ， 根据相似比解出OE即可.
【考点精析】掌握切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．