Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 ，OP=1，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，如图，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠A+∠APO=90°，

∵CP=CB，

∴∠CBP=∠CPB，

而∠CPB=∠APO，

∴∠APO=∠CBP，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC=x，则PC=x，

在Rt△OBC中，OB= ，OC=CP+OP=x+1，

∵OB2+BC2=OC2，

∴（ ）2+x2=（x+1）2，

解得x=2，

即BC的长为2．

【解析】（1）首先依据垂直的定义可证明∠A+∠APO=90°，然后根据等腰三角形的性质可证明∠CBP=∠CPB，接下来，再依据根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，然后可证明∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，最后，依据切线的判定定理进行证明即可；
（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理列方程求解即可．