Question

【题目】如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则：：＝AB：AC：BC；正确的有（ ）

A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据角平分线的定义可得∠ABO=∠CBO,根据两直线平行,内错角相等可得∠CBO=∠BOM,从而得到∠ABO=∠BOM,再根据等角对等边可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后即可求出ΔAMN的周长=AB+AC，由ΔABC、ΔBOC内角和为180，及BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB可得∠A＝2∠BOC﹣180,可得点O为ΔABC的内心，可得：：＝AB：AC：BC，可得答案.

解：BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∠ABO=∠CBO

MN∥BC，∠CBO=∠BOM，∠MOB＝∠MBO，故①正确；

BM=OM，同理CN=ON，△AMN 的周长等于 AB+AC，故②正确；

由ΔABC、ΔBOC内角和为180

∠A+∠ABC+∠ACB=180,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180,

∠OBC+∠OCB+∠BOC=180,即∠OBC+∠OCB=180-∠BOC,

可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正确；

由题意得：点O为ΔABC的内心，设内切圆半径为r，可得：：＝AB：AC：BC= AB：AC：BC，故④正确

故选D.