Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OC，AC．

∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF．

∴∠CAE=∠CAB．

∵OC=OA，

∴∠CAB=∠OCA．

∴∠CAE=∠OCA．

∴OC∥AE．

∴∠OCE+∠AEC=180°，

∵∠AEC=90°，

∴∠OCE=90°即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，

∴CE是⊙O的切线

（2）解：求解思路如下：

①由AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知DC∥AB；

= ，

②由OC∥AE，OC=OA，可知四边形AOCD是菱形；

③由∠CAE=∠CAB，得到CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC为等边三角形；

④由等边△OBC可求高CF的长，进而可求四边形ABCD面积．

解：∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，

∴DC∥AB，

∵∠CAE=∠OCA，

∴OC∥AD，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∴OC=AD=a，AB=2a，

∵∠CAE=∠CAB，

∴CD=CB=a，

∴CB=OC=OB，

∴△OCB是等边三角形，

在Rt△CFB中，CF= = ，

∴S四边形ABCD= （DC+AB）CF= a2．

【解析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．
【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理和垂径定理的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．