Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1 ， x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2 ，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）

=（m+1）2+4，

∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根

（2）∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2 ∴（x1﹣x2）2=（2 ）2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，

解得：m1=﹣3，m2=1．

当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0，

解得：x1= ，x2=﹣ ，

当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，

解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣

【解析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|=2 ”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根，以及对根与系数的关系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．