Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．

（1）当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；

（2）在（1）得条件下，猜想：BD2、DE2、CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BD2+CE2=DE2．理由见解析

【解析】

（1）根据旋转的性质可得AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，然后求出∠D′AE=45°，从而得到∠DAE=∠D′AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD′E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，由等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，再根据已知可得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，继而可得∠BCD′=90°，在Rt△CD′E中，根据勾股定理有CE2+D′C2=D′E2，继而利用等量代换即可得BD2+CE2=DE2．

（1）∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，

∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，

∵∠DAE=45°

∴∠EAD′=∠DAD′﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠EAD′=∠DAE，

在△AED与△AED′中

，

∴△AED≌△AED′，

∴DE=D′E；

（2）BD2+CE2=DE2．理由如下：

由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′

∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，

∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，

在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，

∴BD2+CE2=DE2．